রোবটিক্সের তিন সূত্র - আইজ্যাক আসিমভ

(The original text is Isaac Asimov's "The Laws of Robotics" written in 1979.)

কম্পিউটার জিনিসটা সম্বন্ধে চিন্তা করার সময় এই চিন্তা মাথার বাইরে রাখা মনে হয় সহজ না যে তারা কখনও পৃথিবী “দখল” করে নিবে নাকি।

তারা কি আমাদের জায়গা নিয়ে নিবে, অপ্রয়োজনীয়-অপাংক্তেয় বানিয়ে ফেলবে আর তারপর ছুঁড়ে ফেলে দিবে আমাদের যেভাবে আমরা পুরানো ভাঙ্গা যন্ত্রপাতি ফেলে দিই? ঠিক যেমন আমরা একসময় ঢাল-বর্শা ফেলে দিয়ে হাতে তুলে নিয়েছি আধুনিক সমরাস্ত্র। পাথরে পাথর ঠুকার বদলে আগুন জ্বালানো শুরু করেছি ম্যাচের কাঠি পরে লাইটার দিয়ে।

কম্পিউটারের মত ব্রেন যদি আমরা চিন্তা করি মানুষের মত দেখতে ধাতব একটা যন্ত্রের ভিতর যাকে কিনা আমরা বলি রোবট তাহলে ভয়টা মনে হয় আরও স্পষ্ট হয়ে ওঠে। কল্পনার রোবট দেখতে এত বেশি মানুষের মত যে তাদের চেহারাই যেন তাদেরকে বিদ্রোহী হয়ে ওঠার বুদ্ধি যোগাবে।

বৈজ্ঞানিক কল্প-কাহিনীর জগত এই সমস্যারই মুখোমুখি হয়ে ছিল ১৯২০ আর ১৯৩০ এর দশকে। আর সেই সময়ের গল্পগুলোর অনেকগুলোই ছিল রোবটদের ব্যাপারে সাবধানবানী। কিভাবে তারা একসময় গিয়ে তাদের নির্মাতা মানুষের বিরুদ্ধে উঠে দাঁড়িয়ে তাদের ধ্বংস করে দেয়।

আমি যখন কেবলই তরুণ তখন আমি এই সাবধানবানী শুনতে শুনতে ক্লান্ত হয়ে গেছিলাম। আমার মনে হত রোবট তো শেষ পর্যন্ত একটা যন্ত্রই, আর মানুষ সবসময়ই নতুন নতুন যন্ত্র বানাচ্ছে। আর সব যন্ত্রই তো কোন না কোনভাবে বিপদজনক, তাই মানুষ কি করে? যন্ত্রের মধ্যে এমন কোন ব্যবস্থা করে দেয় যেন তা নিরাপদভাবে ব্যবহার করা যায়।

সেই সময়, ১৯৩৯ সালে আমি তাই এমন গল্প লিখা শুরু করলাম যেখানে রোবটকে উপস্থাপন করা হয়েছে ভয়ের সাথে না, সহানুভূতির সাথে। এমন যন্ত্র হিসেবে যা এমনভাবেই ডিজাইন করা হয়েছে যেন তাকে ব্যবহার করা যায় নিশ্চিন্তে, যার মধ্যে হিংস্র মনোভাব থাকার সম্ভাবনা নেই আর সর্বোপরি যা তাকে যে কাজ দেওয়া হয় সেটা ভালোভাবেই সম্পন্ন করতে পারে।

তো নিরাপদ রাখার জন্য কি কি “safeguard” বা রক্ষাকবচ রাখতে হবে ডিজাইনের সময়? এই জিনিসটাই আমি প্রথম অক্টোবর, ১৯৪১ এর একটা গল্পে লিখি সুনির্দিষ্ট করে “রোবটিক্সের তিন সূত্র” হিসেবে। সূত্রগুলো হচ্ছেঃ

• একটা রোবট কখনোই একজন মানুষকে আঘাত করতে পারবে না কিংবা নিষ্ক্রিয় থেকে কোন মানুষের উপর আঘাত আসতে দিতে পারবে না।
• একটা রোবটকে অবশ্যই কোন মানুষের সকল আদেশকে মান্য করতে হবে যতক্ষণ পর্যন্ত না সেই আদেশ প্রথম সূত্রকে অমান্য করে। 
• একটা রোবট অবশ্যই তার নিজের অস্তিত্বকে রক্ষা করে চলবে যতক্ষন পর্যন্ত না রক্ষা করতে গিয়ে প্রথম বা দ্বিতীয় সূত্রকে ভঙ্গ করতে হয়।

এই সূত্রগুলো অবশ্যই একটা রোবটের কৃত্রিম মস্তিষ্কে/Processing unit-এ প্রোগ্রাম করে দিতে হবে। তো আমি এই সূত্রগুলোর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ অনেকগুলো গল্প লিখলাম, বলা যায় লিখতে থাকলাম। এই সূত্রগুলো এত জনপ্রিয় হল পাঠকদের মধ্যে যে আমার সময়ের অন্য অনেক বিজ্ঞান কল্পকাহিনী লেখকও এই সূত্রগুলো মাথায় রেখে গল্প লিখতে লাগলেন আর আগের যুগের রোবটের আমাদের ধ্বংস করে দেওয়ার কাহিনী ধীরে ধীরে হারিয়ে গেল।

কিন্তু এটা তো সায়েন্স ফিকশনের কথা। আসল দুনিয়ায় কি হচ্ছে? এখন কম্পিউটার আর কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা নিয়ে অনেক কাজ হচ্ছে, সেখানে কি হচ্ছে? সেখানেও কি এরকম রক্ষাকবচ রাখা হবে তাদের ডিজাইনেই? যেসব যন্ত্রের নিজস্ব বুদ্ধিমত্তা থাকবে তাদের মাথাতেও কি রোবটিক্সের তিনটি সূত্রের মত কিছু থাকবে তাদের নিরাপদ বানানোর জন্য?

অবশ্যই থাকা উচিৎ, যদি ধরে নিই কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা নিয়ে কাজ করা মানুষজনের নিজেদের বুদ্ধিমত্তা খুব নিম্নশ্রেণীর না। এবং তাদের যে রক্ষাকবচ থাকবে তা যে শুধু রোবটিক্সের তিনটি সূত্রের মত হতে হবে তাই না, সেগুলোকে রোবটিক্সের তিনটি সূত্রই হতে হবে। আমি যখন সূত্র তিনটি লিখি তখন বুঝি নি যে আমি যা লিখেছি তা আসলে মানুষ অনেক অনেকদিন ধরে প্রয়োগ করে আসছে, যদিও ঠিক রোবটিক্সের সূত্র হিসেবে না। বরং বলা যেতে পারে আমি লিখে ফেলেছিলাম সার্বিক ভাবে “যেকোন যন্ত্রের তিন সূত্র”। কিরকম? সেগুলো হতে পারে এরকমঃ

• যেকোন যন্ত্রকে হতে হবে নিরাপদ। (স্বাভাবিক! যেমন একটা ছোরার আছে হাতল, একটা ভোঁতা দিক। এমন যন্ত্র যা তার ব্যবহারকারী সাবধানে থাকার পরেও তার ক্ষতির কারণ হয়ে দাঁড়াতে পারে নিশ্চয়ই একটা ভালো যন্ত্র হিসেবে গন্য হবে না। এটা কখনো নিয়মিত ব্যবাহার্যও হয়ে উঠতে পারবে না।)
• একটা যন্ত্রের যা করার কথা, সেটা অবশ্যই তা করবে। এবং অবশ্যই নিরাপদভাবেই করবে, অন্য কারও বিপদের কারণ হয়ে দাঁড়াবে না।
• একটা যন্ত্র অক্ষত থাকতে হবে কাজের সময় যদি না তাকে ধ্বংস করা নিরাপত্তার জন্য দরকারী হয় অথবা তার ধ্বংস হওয়া তার কাজ সম্পন্ন করার জন্য প্রয়োজনীয় হয়ে থাকে।

এই তিনটা সূত্র কেউ কখনও আনুষ্ঠানিকভাবে উচ্চারণ করে না তার কারণ এরা অতিরিক্ত রকমের স্বাভাবিক। এগুলো যদি কারও সামনে বলা হবে তার প্রতিক্রিয়া হওয়ার কথা “এটা আবার বলে দিতে হয় নাকি!”।

স্পষ্টতই বুঝা যাচ্ছে “রোবোটিক্সের তিন সূত্র” আর যেকোন যন্ত্রের তিন সূত্র হচ্ছে একই জিনিস। আর হবে নাই বা কেন, রোবট/কম্পিউটার এগুলোতো মানুষের তৈরি আরেকটা যন্ত্র ছাড়া কিছু না।

এখন রোবটের মধ্যে যে সেফগার্ড প্রোগ্রাম করে দেওয়া থাকবে তা কি যথেষ্ট হবে? রোবট তাতে “নিরাপদ” হয়ে উঠবে? এই প্রশ্নের উত্তর বিভিন্ন উদাহরণ থেকে দেওয়া যাক। সাধারণ একটা গাড়িকে নিরাপদ করে তুলতে তো কম কষ্ট করা হয় না, নিত্যনতুন গ্যাজেট আর নিরাপত্তা ব্যবস্থা ঢোকানো হয়। কিন্তু তারপরেও আমেরিকাতে বছরে পঞ্চাশ হাজার মানুষ গাড়ি দুর্ঘটনায় মারা যায়। চিন্তা করুন, ব্যাঙ্কে আমাদের টাকা নিরাপদে রাখার জন্য ব্যাঙ্কের সিকিউরিটি বাড়ানো হয় কত-শত ভাবে আর তারপরেও একের পর এক ব্যাঙ্ক ডাকাতি হতেই থাকে। কম্পিউটার প্রোগ্রামের নিরাপত্তা নিশ্ছিদ্র করার জন্যও কত কিছু করা হয় আর তারপরেও হ্যাকিং, ক্র্যাকিং, কম্পিউটারে জালিয়াতি এসবের কত নজিরই তো সামনে।

যাই হোক, রোবটের ক্ষেত্রেও এরকম কিছু হতে পারে কিন্তু তারা আমাদের উপর দখলদারিত্ব কায়েম করবে এটা অনেকটাই অস্বাভাবিক। বরং তারা যদি কখনও সবকিছু দখল করে নেওয়ার মত বুদ্ধিমত্তার অধিকারী হয়েই উঠে তারা হয়তো এতটা বুদ্ধিমানও হয়ে উঠবে যে তাদের আর তিনটি সূত্র দিয়ে চালিত হতে হবে না। তারা তাদের নিজেদের সদিচ্ছা থেকেই আমাদের খেয়াল রাখবে আর আমাদেরকে আঘাতের হাত থেকে রক্ষা করবে।

এখানে এসে কেউ কেউ আপত্তি জানাতে পারেন। আমরা তো আর সবাই বাচ্চা-কাচ্চা না, আমাদের মানবসত্তার উপর, আত্মাভিমানের উপর এটা একটা আঘাত হবে যদি আমাদের এভাবে রক্ষা করে রাখতে হয়।

আসলেই কি তাই? আজকের বিশ্বের দিকে তাকান, অতীতের দিকে তাকান আর তারপর নিজেকে জিজ্ঞেস করুন আমরা কি বাচ্চাদের মতই আচরণ করি না? শুধু তাই না বরং ধ্বংসাত্বক বাচ্চা-কাচ্চা। আর ভাবুন নিজেদের কাছ থেকেই নিজেদের রক্ষা করাটা জরুরি মনে হয় কিনা।

আমরা যদি দাবি করি যে আমাদের সাথে প্রাপ্তবয়স্কের মত আচরণ করা হোক, তাহলে কি আমাদেরই উচিৎ না প্রাপ্তবয়স্কের মত আচরণ করা? তাই যদি হয় তবে কবে আমরা তা করা শুরু করব?

Divisibility Criteria (ভাগ যাওয়ার শর্ত):

<লিখাটা বেশ ছোটদের মাথায় রেখে আর অন্য উদ্দেশ্যে লিখা। ব্লগে শুধু রেখে দিচ্ছি ধরণের ব্যাপার আর কি। 

ধরে নেওয়া হচ্ছে যে পাঠকের অল্প-স্বল্প মডুলার অ্যারিথমেটিকের জ্ঞান থাকবে। যে অল্পটুকু না জানলেই নয় তা সহজেই দেখে নেওয়া যাবে এখানে http://mathworld.wolfram.com/Congruence.html 
http://shorob.com/?p=9030 ও http://shorob.com/?p=9448>

কখন একটা সংখ্যা 2 দিয়ে বিভাজ্য হয়? বা 3 দিয়ে? 5, 7 বা 11 দিয়ে? এরকম কিছু শর্ত নিয়ে আলোচনা করা যাকঃ

2 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ

2 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যাকে কি বলে? জোড় সংখ্যা। এখন একটা সংখ্যা জোড় কিনা কিভাবে বুঝা যায় এক ঝলকেই? শুধু দেখতে হবে শেষ অঙ্কটা জোড় কিনা। যেমন 352, জোড় সংখ্যা। কিন্তু 4443, প্রথম 3টি অঙ্কই জোড় হওয়া সত্যেও সংখ্যাটি বিজোড় কারণ শেষ অঙ্ক বিজোড়।

4 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ

আরেকটু কঠিনে আসি। আর এবার আমাদের কনগ্রুয়েন্সের জ্ঞাণ ব্যবহার করা যাক। তার আগে কিছু জিনিস খেয়াল করতে হবে। যেকোন সংখ্যাকে দশের বিভিন্ন ঘাত দিয়ে খুব সহজেই প্রকাশ করা যায়। যেমন

4132 = 4x1000+1x100+3x10+2

22587 = 2x10000 +2x1000+5x100+8x10+7

373 = 3x100+7x10+3

28 = 2x10+8

এখন এখানে ভালোমত খেয়াল করে দেখ, 10000,1000,100 এসবই 4 দিয়ে বিভাজ্য। যেহেতু 10ⁿ = 2ⁿ x5ⁿ তাই n, 2 এর সমান বা বড় হলেই 10ⁿ, 4 দিয়ে ভাগ যাবে। অর্থাৎ 10 এর চেয়ে বড় 10 এর সকল ঘাত 4 দিয়ে ভাগ যাবে। তাহলে যেহেতু এদের সবার সম্বন্ধে বলা যায় 10ⁿ Ξ 0 (mod 4), তাহলে উপরের সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রে পাই,

4132 Ξ 32 (mod 4)

22587 Ξ 87(mod 4)

373 = 73 (mod 4)

তারমানে যেকোন সংখ্যাকে 4 দিয়ে ভাগ করলে যে ভাগশেষ থাকে তার শেষ দুই অঙ্ককে 4 দিয়ে ভাগ করলেও একই ভাগশেষ থাকে। অর্থাৎ কোন সংখ্যা 4 দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি শেষ দুই অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা 4 দিয়ে বিভাজ্য হয়। পরীক্ষা করে দেখ কিছু সংখ্যার জন্য। এক কাজ কর, তোমার ফোন নম্বর নাও। এবার বল সেটি 4 দিয়ে বিভাজ্য কিনা।

8 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ

4 দিয়ে বিভাজ্যতার জ্ঞান থেকে এটা বলতে পারবে না? 100 থেকে বড় সকল 10 এর ঘাত 8 দিয়ে বিভাজ্য। তাহলে এটার ক্ষেত্রে বলা যায় কোন সংখ্যা 8 দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি তার শেষ 3 অঙ্ক 8 দিয়ে বিভাজ্য হয়।

এবার এক কাজ কর, সাধারণভাবে 2ⁿ সংখ্যাটি দিয়ে কোন সংখ্যা নিঃশেষে বিভাজ্য হওয়ার শর্ত কি বের করে ফেল।

5 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ

5 দিয়ে বিভাজ্যতার জন্যও সংখ্যাকে 10 এর ঘাত দিয়ে নির্দেশ করা যাক। এবং আবার খেয়াল কর যে এর ক্ষেত্রেও শেষ অঙ্কটি দেখলেই হবে কারণ বাকি অংশটুকু 5 দিয়ে সবসময়ই বিভাজ্য হবে। এখন শেষ অঙ্ক কত হলে 5 দিয়ে বিভাজ্য হতে পারে? 0 বা 5।

5 এর ঘাত যেমন 25, 125 ইত্যাদি দিয়ে বিভাজ্যতাও 2 এর ঘাত দিয়ে বিভাজ্যতার মত। সেই শর্তগুলো সহজেই তোমরা বের করে নিতে পারবে।

11 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ

এটা একটু মজার। একটা জিনিস খেয়াল কর একটু।

10 Ξ -1 (mod 11),

10² Ξ (-1)² Ξ 1 (mod 11)

10³ Ξ (10² )x(10) Ξ -1 (mod 11)

10⁴ Ξ 1 (mod 11)

এখন আমরা যে উদাহরণগুলো 2 দিয়ে বিভাজ্যতার ক্ষেত্রে দেখছিলাম সেগুলো যদি 11 এর ক্ষেত্রেও দেখি তাহলে কি দাঁড়ায়?

4132 = 4x1000+1x100+3x10+2

22587 = 2x10000 +2x1000+5x100+8x10+7

373 = 3x100+7x10+3

28 = 2x10+8

তাহলে 4132 Ξ 4x(-1) + 1x1 + 3x(-1) + 2 Ξ -4+1-3+2 Ξ 4 (mod 11)

22587 Ξ 2 -2+5-8+7 Ξ 4(mod 11)

373 Ξ 3-7+3 = -1 Ξ 10 (mod 11)

28 Ξ -2+8 Ξ 6 (mod 11)

অর্থাৎ 11 এর ক্ষেত্রে কি পেলাম আমরা? আমরা কোন সংখ্যার অঙ্কগুলো alternatingly যোগ-বিয়োগ করে(একটা যোগ, একটা বিয়োগ) আমরা তার 11 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ বের করতে পারব। এই যোগ-বিয়োগ করে প্রাপ্ত সংখ্যা 11 দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি নিজেও 11 দিয়ে বিভাজ্য হবে।

উদাহরণঃ 1331 -> 1-3+3-1 = 0, 1331, 11 দিয়ে বিভাজ্য। 123321 -> 1-2+3-3+2-1 = 0, 123321, 11 দিয়ে বিভাজ্য। 14641 -> -1+4-6+4-1 = 0, তাই 14641, 11 দিয়ে বিভাজ্য।

3 ও 9 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ

আবারও আমরা ঐ 10 এর ঘাতেরই সাহায্য নিব। এবং এক্ষেত্রে আসলে ব্যাপারটা আরও সহজ।

10 Ξ 1 (mod 3), তার মানে 10² Ξ 10³ Ξ 10⁴ Ξ 1 (mod 3)

9 এর ক্ষেত্রেও ব্যাপারটা একইরকমই।

10 Ξ 1 (mod 9), তার মানে 10² Ξ 10³ Ξ 10⁴ Ξ 1 (mod 9)

তাহলে কি পাওয়া যায়?

4132 Ξ 4x1 + 1x1 + 3x1 + 2 Ξ 4+1+3+2 Ξ 10 Ξ 1 (mod 3)

22587 Ξ 2 + 2+ 5 + 8 +7 Ξ 24 Ξ 0 (mod 3)

393 Ξ 3+9+3 = 15 Ξ 0 (mod 3)

28 Ξ 2+8 Ξ 10 Ξ 1 (mod 3)

আবার

4132 Ξ 4x1 + 1x1 + 3x1 + 2 Ξ 4+1+3+2 Ξ 10 Ξ 1 (mod 9)

22797 Ξ 2 + 2+ 7 + 9 +7 Ξ 27 Ξ 0 (mod 9)

3735 Ξ 3+7+3 + 5 = 18 Ξ 0 (mod 9)

28 Ξ 2+8 Ξ 10 Ξ 1 (mod 9)

তাহলে তোমরা নিশ্চয়ই বুঝতে পারছ যে যে সংখ্যাগুলো 0 (mod 9) হচ্ছে সেগুলো 9 দিয়ে বিভাজ্য আর যেগুলো 0 (mod 3), সেগুলো 3 দিয়ে বিভাজ্য।

এভাবে 7, 13 এই সংখ্যাগুলো দিয়ে ভাগ যাওয়ার শর্তও বের করা যেতে পারে তবে সেগুলো আরও কম কার্যকরী। তাই সেগুলো নিয়ে আলাপ করছি না, তোমরা নিজেরা সেগুলো বের করে নিতে পারো একটু কষ্ট করে।

Diophantine Equations (ডায়াফন্টাইন সমীকরণ):

ডায়াফন্টাইন সমীকরণ বলতে মূলত এমন সমীকরণকে বুঝানো হয় যার জন্য আমরা শুধু পূর্ণসংখ্যা সমাধানকে হিসেবের মধ্যে রাখব। এ ধরণের সমীকরণ নিয়ে প্রথম কাজ করেন তৃতীয় শতাব্দীর গ্রীক গণিতবিদ ডায়াফন্টাস। সাধারণভাবে আমরা দেখি যতগুলো অজানা রাশি ততগুলো স্বাধীন সমীকরণ থাকলে সমীকরণসমূহ সমাধান করা সম্ভব হয়। ডায়াফন্টাইন সমীকরণের ক্ষেত্রে সমীকরণের সংখ্যা প্রায় সবসময়ই হয় কম। এ কারণে ইউনিক সল্যুশনের কোনও নিশ্চয়তা নাই। অনেক ক্ষেত্রেই সমস্যাগুলো দেখতে হয় এমনঃ নিচের সমীকরণের সকল পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান বের কর, বা সমীকরণের সকল ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান বের কর। ডায়াফন্টাইন সমীকরণ অনেক রকমের হতে পারে। এবং এগুলো সমাধান করার জন্য বিভাজ্যতা, গসাগু, লসাগু, ফ্যাক্টরাইজেশন এসব বিষয়ে মোটামোটি ভাল দখন থাকতে হবে। যাই হোক, এবার আমরা দেখি বিভিন্ন ধরণের ডায়াফন্টাইন সমীকরণ।

Linear Diophantine Equations:

সবচেয়ে সরল ডায়াফন্টাইন ইকুয়েশন হল লিনিয়ার ডায়াফন্টাইন ইকুয়েশন। লিনিয়ার ইকুয়েশন বা একঘাত সমীকরণের সাথে তো বীজগণিত থেকে আমরা সবাই পরিচিত। এর বৈশিষ্ট্যগুলো কি? সকল অজানা পদ থাকবে একঘাত রাশি হিসেবে। যেমন এমন প্রবলেম তো বেশ কমন।
নিচের সমীকরণসমূহকে সমাধান করঃ

2x+3y = 8; 4x+5y = 10.

দুইটি অজানা রাশি, দুইটি সমীকরণ। এবং সহজেই সমাধান করা যাবে। এভাবে তোমরা তিনটি রাশি বিশিষ্ট তিনটি সমীকরণ সমাধান করে ফেলতে পারবে। সহজ কাজ।

এবার ধর আমি একটাই সমীকরণ দিলাম।

4x+5y = 10

এখন এই সমীকরণকে আমি বললাম সমাধান করতে। কি করা যায়? লিখা যায়ঃ

x = (10-5y)/4

আচ্ছা এখন যদি y এর মান বসাই প্রতি মানের জন্য আমি x এর বিভিন্ন মান পাব। একটা টেবিল করে ফেলি তাহলে x আর y এর মানের।

x	5/2	5/4	0	-3/4	-5/2	-15/4	-5	-25/4
y	0	1	2	3	4	5	6	7

এখানে, এই যে কয়েকটা মান বসিয়ে দেখলাম আমরা, এখানে আমরা দুইটা পূর্ণ সংখ্যা সমাধান পেয়েছি (x,y) এর জন্য। (0,2) আর (-5,6) (এদের মধ্যে সম্পর্ক কি সেটায় আমরা পরে আসব)। তো y এর ৮টা মানের জন্য আমরা ২টা সমাধান পেয়ে গেছি। তাহলে আরও সমাধান পাওয়া নিশ্চয়ই সম্ভব। আরও কত? অনেক? অসীম সংখ্যক? এই সমীকরণের ক্ষেত্রে নাহয় সমাধান পাওয়া গেল, সবসময় কি যাবে? সমীকরণটা যদি হয় 4x+6y = 13 তখন?

সমাধানযোগ্যতাঃ

         I.            4x+5y = 10

        II.            4x+6y = 13

      III.            3x+6y = 17

      IV.            14x + 21y = 143

       V.            9x + 18y = 69

উপরের সমীকরণগুলোর মধ্যে কোনগুলো সমাধানযোগ্য?

         I.            সমাধান দেখানো হয়েছে।

        II.            এটার ক্ষেত্রে একটা ব্যাপার খেয়াল কর। বাম পাশের দুইটি পদই জোড়। দুইটা জোড় সংখ্যাকে যোগ করলে কি হয়? আরেকটা জোড় সংখ্যা। কিন্তু ডানপাশে থাকা 13 তো জোড় না। তার মানে কোন x, y এর জন্যই এর কোন সমাধান নেই।

      III.            বাম পাশে কি খেয়াল করতে পার? দুইটি পদই ৩ দিয়ে বিভাজ্য। মানে যোগফলও ৩ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। ডান পাশের 17 আবার তা না। তার মানে? এক্ষেত্রেও কোন সমাধান নাই।

      IV.            বাম পাশ সম্বন্ধে কি বলা যায়? ৭ দিয়ে বিভাজ্য। ডান পাশ কিন্তু ৭ দ্বারা বিভাজ্য। তাই আগেরবারের মত কোন সমস্যা নাই। সমাধান থাকতেই পারে।

       V.            বাম পাশ ৯ দ্বারা বিভাজ্য। ডান পাশ না।

তাহলে যা যা দেখলাম এখন পর্যন্ত তাকে সংক্ষেপে কিভাবে বলা যেতে পারে? Generalize করার চেষ্টা করি।

ধরি সাধারণ সমীকরণঃ

ax + by = c; a, b, c হচ্ছে ধনাত্মক বা ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

এখন ধরা যাক gcd(a,b) = d. তাহলে x, y এর মান যাই হোক না কেন ax ও by উভয়েই d দিয়ে বিভাজ্য হবে। তার মানে তাদের যোগফলও d দিয়েই বিভাজ্য হবে। এখন c যদি d দিয়ে বিভাজ্য না হয় সেক্ষেত্রে এই সমীকরণের কোন সমাধান থাকবে না। বিপরীতভাবে এটাও বলা যায় যদি gcd(a,b) দ্বারা c নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তাহলে সমীকরণের সমাধান থাকবেই। কেন সবসময় থাকবেই এটা তোমরা ভেবে বের কর।

সিদ্ধান্ত ১. ax + by = c সমীকরণটির পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি gcd(a,b) দ্বারা c নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।

এখন আরেকটা জিনিস খেয়াল কর। ax+by এর মান যাই হোক না কেন তাকে gcd(a,b) = d দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। এখন যদি c | d হয় তাহলে d এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান হবে c. তাহলে ব্যাপারটা এভাবেও বলা যায় যে ax+by আকৃতির সকল ধনাত্মক সংখ্যার মধ্যে সর্বনিম্ন হবে d.

সিদ্ধান্ত ২. ax + by এই লিনিয়ার কম্বিনেশনে x, y এর বিভিন্ন মান বসিয়ে প্রাপ্ত সকল ধনাত্মক সংখ্যার মধ্যে ক্ষুদ্রতমটি হবে x ও y এর গসাগু।

এইভাবে অনেকসময় গসাগু বের করতে হতে পারে।

সমাধান নির্ণয়ঃ

এখন আমরা বের করতে পারি যে ডায়াফন্টাইন সমীকরণের সমাধান আছে কিনা। এখন সমাধান নির্ণয় করা যাক। প্রথম উদাহরণেই ফিরে যাই। 

4x+5y = 10; x = (10-5y)/4

এবং টেবিলটা আবার তৈরি করি আরও বেশি সংখ্যা নিয়ে।

x	5/2	5/4	0	-3/4	-5/2	-15/4	-5	-25/4	-15/2	-35/4	-10	-45/4
y	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

আরেকটু বাড়িয়ে আরও একটা সমাধান পেয়েছি আমরা।

(x,y) = (0,2), (-5,6), (-10,10).

এগুলোর মধ্যে কিছু খেয়াল করতে পারো? X এর মান কমছে 5 এর ব্যবধানে, বা বলা যায় বাড়ছে -5 করে। একইসাথে y এর মান বাড়ছে 4 করে। মানে x এর মানে -5 করে বাড়ার জন্য y এর মান বাড়ছে 4 করে। তার মানে x, y এর প্রথম যে মানটা পেয়েছি আমরা সেখান থেকে আমরা সহজেই পরের সমাধানগুলো বের করতে পারব। x এর মান -5 করে বাড়াতে থাকব আর y এর মান 4 করে। সাধারণ একটা সমাধান লিখেই ফেলিঃ
x = 0 – 5t; y = 2 + 4t, t হবে যেকোন পূর্ণসংখ্যা। এটা যে কাজ করে সেটা তোমরা t এর বিভিন্ন মান বসিয়ে দেখা যায়। সমীকরণ থেকে বোঝানোর চেষ্টা করি।

x = (10-5y)/4

এখন y = 2 এর জন্য আমরা দেখছি x ও পূর্ণসংখ্যা হচ্ছে। তার কারণটা কি? x কে পূর্ণসঙ্খ্যা হতে হলে (10-5y) কে 4 দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। এবং 10-5x2 = 0, 4 দিয়ে বিভাজ্য। এখন ধরি y = 2+k. তাহলে

(10-5y)  = 10 - 5(2+k) = -5k.

বিভাজ্যতার জ্ঞান ঝালাই করে নাও। -5k, 4 দিয়ে বিভাজ্য হবে কখন? যখন k নিজেই 4 দিয়ে বিভাজ্য। তাহলে ধরে নিতেই পারি

k = 4t;  y = 2+4t;

এবার y এর মান সমীকরণে বসিয়ে x এর মান পাবঃ

x = (10- 5(2+4t))/4 = -5t

তার মানে, (x,y) = ( -5t, 2 + 4t ).

ঠিক আগে যা বলেছিলাম।এখন t এর মান কি হতে পারে? যেকোন পূর্ণসঙ্খ্যা। তার মানে t এর, তথা (x,y) এর কয়টি সমাধান থাকতে পারে? অসীম সংখ্যক। তার মানে কি? সমীকরণের একটা সমাধান কোন মতে বের করতে পারলেই সেখান থেকে আরও অসীমসংখ্যক সমাধান পাওয়া যাবে।

সিদ্ধান্ত ৩. ax + by = c সমীকরণটির একটি মাত্র পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান থাকলেই অসীমসংখ্যক পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান থাকবে।

আচ্ছা আরেকটা সমীকরণ দেখা যাক,

14x + 21y = 28.

সবকয়টি পদ gcd(7,14)=7  দিয়ে বিভাজ্য। তাহলে 7 দিয়ে সবাইকে ভাগ করে দিয়ে পাই

2x + y = 4;

আগের সমীকরণ আর এই সমীকরণের সমাধান সবসময় একই হবে, কারণ তারা মূলত একই সমীকরণ। এখন এর কয়েকটা সমাধান মোটামোটি দেখেই বুঝা যায় x = 1, y =2. বা x = 2, y = 0. প্রথম সমাধানটার সাপেক্ষে এটারও সাধারণ সমাধান বের করার চেষ্টা করিঃ

y = 4 – 2x;

If, x = 1+t, y = 2-2t, যারা উভয়েই পূর্ণসঙ্খ্যা।

তাহলে, (x,y) = (1+t, 2-2t);

এখন (-5t, 2+4t) তে t এর সহগ -5,4, (1+t, 2-2t) তে t এর সহগ 1,-2; এদের কোন তাতপর্য আছে? হ্যাঁ, 5 আর 4 হচ্ছে গিয়ে মূল সমীকরণে x, y এর সহগ। আমরা 4x+5y = 10 এর একটা সমাধান পেয়েছিলাম (0,2), সেখান থেকে সাধারণ সমাধান (0-5t, 2+4t)। 2, 1 ও গসাগু দিয়ে ভাগ করার পর সমীকরণে x,y এর সহগ।  

তাহলে এটাকে জেনারালাইজ করে ফেলি। অবশ্যই আমরা ধরে নিব আমরা সহগের গসাগু দিয়ে সমীকরনকে ভাগ করে নিয়েছি, এবং তার ফলে এখন সহগরা সহমৌলিক।

সিদ্ধান্ত ৪. ax + by = c, [gcd(a,b)=1]; সমীকরণটির একটি পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান যদি হয় (x0,y0) তাহলে এর সাধারণ সমাধান হবে (x,y) = (x0-bt,y0+at) যেখানে t যেকোন পূর্ণসঙ্খ্যা।

এই সিদ্ধান্তটা প্রমাণ করার চেষ্টা কর, খুব সহজেই হয়ে যাবে। আর যদি আমরা গসাগু দিয়ে ভাগ না করতাম, তাহলে সাধারণ সমীকরণকে কিভাবে প্রকাশ করতে তাও বের করে ফেল।

এখন, আমরা একটা সমাধান পেলে সেখান থেকে সাধারণ সমাধান করা শিখলাম। এখন একটা সমাধান তো অন্তত বের করতে হবে। এতক্ষন পর্যন্ত আমরা পর্যবেক্ষণ থেকে অথবা ট্রায়াল অ্যান্ড এরর করে একটা সমাধান করেছি। এখন একটা সাধারণ পদ্ধতি শেখা যাক যেটা সবসময় কাজ করবে।

খেয়াল কর, 2x+y = 4 এর একটা সমাধান খুব সহজেই করা যায়। এখানে x = 0 বসালেই y = 4 পাওয়া যায়। অথবা y = 0 বসালে সহজেই x = 2 পাওয়া যায়। এত সহযে হয়েছে তার মূল কারন এখানে x, y এর সহগেরা প্রত্যেকে 4 কে নিঃশেষে ভাগ করে। তাই যেকোন একটাকে 0 করে দিলে একটা পূর্ণসাংখ্যিক সমাধান পাওয়া যায়। তার মানে কোন সমীকরণ ax+by = c

এটায় a|c হলে বা b|c হলে একটা সমাধান সহজেই হয়। নিচের সমীকরণগুলোর ক্ষেত্রে একটা সমাধান খাতা-কলম ছাড়াই বের করে ফেল।

         I.            2x + 3y = 9

        II.            x + y = 7

      III.            3x + y = 8

      IV.            5x + 7y = 49

       V.            2x + 17y = 51

এখন এরকম অবস্থায় পেলে কি করব সেটা তো বোঝা গেল। তাহলে এরকম অবস্থায় না পেলে কি করব? জোর করে এরকম অবস্থায় আনব।

সেটাই দেখা যাক কিভাবে একটা উদাহরণ দিয়ে।

13x  + 17y = 109

gcd(13,17)  = 1, যা দিয়ে 109 বিভাজ্য। মানে সমীকরণটির সমাধান আছে। এখন 13 বা 17 দিয়ে 109 বিভাজ্য না। তাই অত সহজে আমরা কিছু পেয়ে যাচ্ছি না। তাহলে এক কাজ করে পুরো সমীকরণ থেকে 13 আর 17 এর মধ্যে ছোট 13 কে কমন নেই।

13(x+y-8) + 4y = 109-104 = 5;

So, 13(x+y-8) + 4y = 5;

এখন x+y-8 আরেকটা অজানা রাশি হয়ে যাচ্ছে। ধরি x+y-8 = u. তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়ঃ

13u + 4y = 5;

আগের সমীকরণ থেকে আরেকটু সহজ একটা সমীকরণ পেলাম। তো আগেরবার যা করেছি একই কাজ আবার করি।

4(3u+y-1) + u = 1;

আবার আরেকটা অজানা রাশি আমদানি করি v = 3u+y-1, তাহলে

4v + u = 1;

আচ্ছা এবার এর একটা সমাধান আমরা করতে পারব।

v = 0, u = 1.

So, v = 3u+y-1 = 1; so 0 = 3x1+y-1, [u আর v এর মান বসিয়ে], so y = -2.

y এর এই মান বসিয়ে পাই, x = 11

তার মানে একটা সমাধানঃ (x,y) = (11,-2);

সাধারণ সমাধানঃ (x,y) = (11-17t,-2+13t), t যেকোন পূর্ণসঙ্খ্যা। এখানে বিভিন্ন মান বসিয়ে দেখে নাও যে এটা আসলেই সাধারণ সমাধান হয়েছে। এখন পদ্ধতিটা অনেক বড় মনে হতে পারে, আসলেই একটু বড় তবে এটা মোটামোটিভাবে সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি একঘাত ডায়াফন্টাইন সমীকরণ সমাধানের জন্য।

তবে কেউ নিজে সমাধান করার সময় অবশ্যই এতকিছু লিখার তো দরকার নাই যা আমি বুঝানোর জন্য লিখছিলাম। তাহলে আরেকটা সমীকরণে শুধু কাজগুলো করে দেখাই।

সমীকরণ: 24x + 13y = 81

o    13(x+y-6) + 11x = 3 o    13u + 11x = 3 o    11(u+x) + 2u = 3 o    11v + 2u = 3 o    2(5v + u - 1) + v = 1 o    2w  + v = 1 o    So v = 1, w = 0

o    Now working backwards o    w = 5v +u -1, so u = -4 o    u + x =  v, so x = 5 o    And so y = -3

                একক সমাধান: (x,y) = (5,-3);

                সাধারণ সমাধান: (x,y) = (5+13k, -3-24k)

সহজ সমস্যাঃ

I –III এর জন্য পূর্ণসাঙ্খ্যিক সমাধান বের করঃ

         I.            3x + 18y = 29

        II.            7x + 5y = 13

      III.            3x – 18y = -7

      IV.            x,y উভয়েই ধনাত্মক এমন সকল সমাধান নির্ণয় করঃ 3x + 4y = 48 [Hint: সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর, তারপর x>0, y>0 লিখে দুইটা অসমতাকে সমাধান করে সম্ভাব্য সকল t এর মান বের কর]

       V.            3x - 6y = 69 এর জন্য x ঋনাত্মক ও y ধনাত্মক এমন পূর্ণসাঙ্খ্যিক সমাধান কয়টি?

To be continued...