<লিখাটা বেশ ছোটদের মাথায় রেখে আর অন্য উদ্দেশ্যে লিখা। ব্লগে শুধু রেখে দিচ্ছি ধরণের ব্যাপার আর কি।
ধরে নেওয়া হচ্ছে যে পাঠকের অল্প-স্বল্প মডুলার অ্যারিথমেটিকের জ্ঞান থাকবে। যে অল্পটুকু না জানলেই নয় তা সহজেই দেখে নেওয়া যাবে এখানে http://mathworld.wolfram.com/Congruence.html
http://shorob.com/?p=9030 ও http://shorob.com/?p=9448>
http://shorob.com/?p=9030 ও http://shorob.com/?p=9448>
কখন একটা সংখ্যা 2 দিয়ে বিভাজ্য হয়? বা 3 দিয়ে? 5, 7 বা 11 দিয়ে? এরকম
কিছু শর্ত নিয়ে আলোচনা করা যাকঃ
2 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ
2 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যাকে কি বলে? জোড় সংখ্যা। এখন একটা সংখ্যা জোড়
কিনা কিভাবে বুঝা যায় এক ঝলকেই? শুধু দেখতে হবে শেষ অঙ্কটা জোড় কিনা। যেমন 352,
জোড় সংখ্যা। কিন্তু 4443, প্রথম 3টি অঙ্কই জোড় হওয়া সত্যেও সংখ্যাটি বিজোড় কারণ
শেষ অঙ্ক বিজোড়।
4 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ
আরেকটু কঠিনে আসি। আর এবার আমাদের কনগ্রুয়েন্সের
জ্ঞাণ ব্যবহার করা যাক। তার আগে কিছু জিনিস খেয়াল করতে হবে। যেকোন সংখ্যাকে দশের বিভিন্ন ঘাত দিয়ে খুব সহজেই
প্রকাশ করা যায়। যেমন
4132 =
4x1000+1x100+3x10+2
22587 = 2x10000
+2x1000+5x100+8x10+7
373 = 3x100+7x10+3
28 = 2x10+8
এখন এখানে ভালোমত খেয়াল করে দেখ, 10000,1000,100 এসবই 4 দিয়ে বিভাজ্য। যেহেতু 10n = 2n x5n তাই n, 2 এর সমান বা বড় হলেই 10n, 4 দিয়ে ভাগ যাবে। অর্থাৎ 10 এর চেয়ে বড় 10 এর সকল ঘাত 4 দিয়ে ভাগ যাবে। তাহলে যেহেতু এদের সবার সম্বন্ধে বলা যায় 10n Ξ 0
(mod 4), তাহলে উপরের সংখ্যাগুলোর
ক্ষেত্রে পাই,
4132 Ξ 32
(mod 4)
22587 Ξ
87(mod 4)
373 =
73 (mod 4)
তারমানে যেকোন সংখ্যাকে 4 দিয়ে ভাগ করলে
যে ভাগশেষ থাকে তার শেষ দুই অঙ্ককে 4 দিয়ে ভাগ করলেও একই ভাগশেষ থাকে। অর্থাৎ কোন
সংখ্যা 4 দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি শেষ দুই অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা 4 দিয়ে বিভাজ্য হয়। পরীক্ষা করে দেখ কিছু সংখ্যার জন্য। এক
কাজ কর, তোমার ফোন নম্বর নাও। এবার বল সেটি 4 দিয়ে বিভাজ্য কিনা।
8 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ
4 দিয়ে বিভাজ্যতার জ্ঞান থেকে এটা বলতে
পারবে না? 100 থেকে বড় সকল 10 এর ঘাত 8 দিয়ে বিভাজ্য। তাহলে এটার ক্ষেত্রে বলা যায় কোন সংখ্যা 8
দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি তার শেষ 3 অঙ্ক 8 দিয়ে বিভাজ্য হয়।
এবার এক কাজ কর, সাধারণভাবে 2n
সংখ্যাটি দিয়ে কোন সংখ্যা নিঃশেষে বিভাজ্য হওয়ার শর্ত কি বের করে ফেল।
5 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ
5 দিয়ে বিভাজ্যতার জন্যও সংখ্যাকে 10 এর
ঘাত দিয়ে নির্দেশ করা যাক। এবং আবার খেয়াল কর যে এর ক্ষেত্রেও শেষ অঙ্কটি দেখলেই
হবে কারণ বাকি অংশটুকু 5 দিয়ে সবসময়ই বিভাজ্য হবে। এখন শেষ অঙ্ক কত হলে 5 দিয়ে
বিভাজ্য হতে পারে? 0 বা 5।
5 এর ঘাত যেমন 25, 125 ইত্যাদি দিয়ে
বিভাজ্যতাও 2 এর ঘাত দিয়ে বিভাজ্যতার মত। সেই শর্তগুলো সহজেই তোমরা বের করে নিতে
পারবে।
11 দিয়ে বিভাজ্যতাঃ
এটা একটু মজার। একটা জিনিস খেয়াল কর একটু।
10 Ξ -1
(mod 11),
102 Ξ (-1)2 Ξ 1 (mod 11)
103 Ξ
(102
)x(10)
Ξ -1 (mod 11)
104
Ξ 1 (mod 11)
এখন আমরা যে উদাহরণগুলো 2 দিয়ে বিভাজ্যতার ক্ষেত্রে দেখছিলাম সেগুলো যদি 11 এর ক্ষেত্রেও দেখি তাহলে কি
দাঁড়ায়?
4132 =
4x1000+1x100+3x10+2
22587 = 2x10000
+2x1000+5x100+8x10+7
373 = 3x100+7x10+3
28 = 2x10+8
তাহলে 4132 Ξ
4x(-1) + 1x1 + 3x(-1) + 2 Ξ -4+1-3+2 Ξ 4 (mod 11)
22587 Ξ 2 -2+5-8+7 Ξ 4(mod
11)
373 Ξ 3-7+3 = -1 Ξ 10 (mod
11)
28 Ξ -2+8 Ξ 6 (mod 11)
অর্থাৎ 11 এর ক্ষেত্রে কি পেলাম আমরা? আমরা কোন সংখ্যার অঙ্কগুলো alternatingly যোগ-বিয়োগ করে(একটা যোগ, একটা
বিয়োগ) আমরা তার 11 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ বের
করতে পারব। এই যোগ-বিয়োগ করে প্রাপ্ত সংখ্যা 11 দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি নিজেও 11 দিয়ে বিভাজ্য হবে।
উদাহরণঃ 1331 -> 1-3+3-1 = 0, 1331, 11 দিয়ে বিভাজ্য। 123321 -> 1-2+3-3+2-1 = 0, 123321, 11 দিয়ে বিভাজ্য। 14641
-> -1+4-6+4-1 = 0, তাই 14641, 11 দিয়ে বিভাজ্য।
3 ও 9 দিয়ে
বিভাজ্যতাঃ
আবারও আমরা ঐ 10 এর ঘাতেরই সাহায্য নিব। এবং এক্ষেত্রে আসলে ব্যাপারটা আরও
সহজ।
10 Ξ 1 (mod 3), তার
মানে 102
Ξ 103 Ξ 104 Ξ 1 (mod 3)
9 এর ক্ষেত্রেও ব্যাপারটা
একইরকমই।
10 Ξ 1 (mod 9), তার
মানে 102
Ξ 103 Ξ 104 Ξ 1 (mod 9)
তাহলে কি পাওয়া যায়?
4132 Ξ 4x1 + 1x1 + 3x1 + 2 Ξ
4+1+3+2 Ξ 10 Ξ 1 (mod 3)
22587 Ξ 2 + 2+ 5 + 8 +7 Ξ 24
Ξ 0 (mod 3)
393 Ξ 3+9+3 = 15 Ξ 0 (mod
3)
28 Ξ 2+8 Ξ 10 Ξ 1 (mod 3)
আবার
4132 Ξ 4x1 + 1x1 + 3x1 + 2 Ξ
4+1+3+2 Ξ 10 Ξ 1 (mod 9)
22797 Ξ 2 + 2+ 7 + 9 +7 Ξ 27
Ξ 0 (mod 9)
3735 Ξ 3+7+3 + 5 = 18 Ξ 0
(mod 9)
28 Ξ 2+8 Ξ 10 Ξ 1 (mod 9)
তাহলে তোমরা নিশ্চয়ই বুঝতে পারছ যে যে সংখ্যাগুলো 0 (mod 9) হচ্ছে সেগুলো 9 দিয়ে বিভাজ্য আর যেগুলো 0 (mod 3), সেগুলো 3 দিয়ে বিভাজ্য।
এভাবে 7, 13
এই সংখ্যাগুলো দিয়ে ভাগ যাওয়ার শর্তও বের করা যেতে পারে তবে সেগুলো আরও কম
কার্যকরী। তাই সেগুলো নিয়ে আলাপ করছি না, তোমরা নিজেরা সেগুলো বের করে নিতে পারো
একটু কষ্ট করে।
