Diophantine Equations (ডায়াফন্টাইন সমীকরণ):

ডায়াফন্টাইন সমীকরণ বলতে মূলত এমন সমীকরণকে বুঝানো হয় যার জন্য আমরা শুধু পূর্ণসংখ্যা সমাধানকে হিসেবের মধ্যে রাখব। এ ধরণের সমীকরণ নিয়ে প্রথম কাজ করেন তৃতীয় শতাব্দীর গ্রীক গণিতবিদ ডায়াফন্টাস। সাধারণভাবে আমরা দেখি যতগুলো অজানা রাশি ততগুলো স্বাধীন সমীকরণ থাকলে সমীকরণসমূহ সমাধান করা সম্ভব হয়। ডায়াফন্টাইন সমীকরণের ক্ষেত্রে সমীকরণের সংখ্যা প্রায় সবসময়ই হয় কম। এ কারণে ইউনিক সল্যুশনের কোনও নিশ্চয়তা নাই। অনেক ক্ষেত্রেই সমস্যাগুলো দেখতে হয় এমনঃ নিচের সমীকরণের সকল পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান বের কর, বা সমীকরণের সকল ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান বের কর। ডায়াফন্টাইন সমীকরণ অনেক রকমের হতে পারে। এবং এগুলো সমাধান করার জন্য বিভাজ্যতা, গসাগু, লসাগু, ফ্যাক্টরাইজেশন এসব বিষয়ে মোটামোটি ভাল দখন থাকতে হবে। যাই হোক, এবার আমরা দেখি বিভিন্ন ধরণের ডায়াফন্টাইন সমীকরণ।

Linear Diophantine Equations:

সবচেয়ে সরল ডায়াফন্টাইন ইকুয়েশন হল লিনিয়ার ডায়াফন্টাইন ইকুয়েশন। লিনিয়ার ইকুয়েশন বা একঘাত সমীকরণের সাথে তো বীজগণিত থেকে আমরা সবাই পরিচিত। এর বৈশিষ্ট্যগুলো কি? সকল অজানা পদ থাকবে একঘাত রাশি হিসেবে। যেমন এমন প্রবলেম তো বেশ কমন।
নিচের সমীকরণসমূহকে সমাধান করঃ

2x+3y = 8; 4x+5y = 10.

দুইটি অজানা রাশি, দুইটি সমীকরণ। এবং সহজেই সমাধান করা যাবে। এভাবে তোমরা তিনটি রাশি বিশিষ্ট তিনটি সমীকরণ সমাধান করে ফেলতে পারবে। সহজ কাজ।

এবার ধর আমি একটাই সমীকরণ দিলাম।

4x+5y = 10

এখন এই সমীকরণকে আমি বললাম সমাধান করতে। কি করা যায়? লিখা যায়ঃ

x = (10-5y)/4

আচ্ছা এখন যদি y এর মান বসাই প্রতি মানের জন্য আমি x এর বিভিন্ন মান পাব। একটা টেবিল করে ফেলি তাহলে x আর y এর মানের।

x	5/2	5/4	0	-3/4	-5/2	-15/4	-5	-25/4
y	0	1	2	3	4	5	6	7

এখানে, এই যে কয়েকটা মান বসিয়ে দেখলাম আমরা, এখানে আমরা দুইটা পূর্ণ সংখ্যা সমাধান পেয়েছি (x,y) এর জন্য। (0,2) আর (-5,6) (এদের মধ্যে সম্পর্ক কি সেটায় আমরা পরে আসব)। তো y এর ৮টা মানের জন্য আমরা ২টা সমাধান পেয়ে গেছি। তাহলে আরও সমাধান পাওয়া নিশ্চয়ই সম্ভব। আরও কত? অনেক? অসীম সংখ্যক? এই সমীকরণের ক্ষেত্রে নাহয় সমাধান পাওয়া গেল, সবসময় কি যাবে? সমীকরণটা যদি হয় 4x+6y = 13 তখন?

সমাধানযোগ্যতাঃ

         I.            4x+5y = 10

        II.            4x+6y = 13

      III.            3x+6y = 17

      IV.            14x + 21y = 143

       V.            9x + 18y = 69

উপরের সমীকরণগুলোর মধ্যে কোনগুলো সমাধানযোগ্য?

         I.            সমাধান দেখানো হয়েছে।

        II.            এটার ক্ষেত্রে একটা ব্যাপার খেয়াল কর। বাম পাশের দুইটি পদই জোড়। দুইটা জোড় সংখ্যাকে যোগ করলে কি হয়? আরেকটা জোড় সংখ্যা। কিন্তু ডানপাশে থাকা 13 তো জোড় না। তার মানে কোন x, y এর জন্যই এর কোন সমাধান নেই।

      III.            বাম পাশে কি খেয়াল করতে পার? দুইটি পদই ৩ দিয়ে বিভাজ্য। মানে যোগফলও ৩ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। ডান পাশের 17 আবার তা না। তার মানে? এক্ষেত্রেও কোন সমাধান নাই।

      IV.            বাম পাশ সম্বন্ধে কি বলা যায়? ৭ দিয়ে বিভাজ্য। ডান পাশ কিন্তু ৭ দ্বারা বিভাজ্য। তাই আগেরবারের মত কোন সমস্যা নাই। সমাধান থাকতেই পারে।

       V.            বাম পাশ ৯ দ্বারা বিভাজ্য। ডান পাশ না।

তাহলে যা যা দেখলাম এখন পর্যন্ত তাকে সংক্ষেপে কিভাবে বলা যেতে পারে? Generalize করার চেষ্টা করি।

ধরি সাধারণ সমীকরণঃ

ax + by = c; a, b, c হচ্ছে ধনাত্মক বা ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

এখন ধরা যাক gcd(a,b) = d. তাহলে x, y এর মান যাই হোক না কেন ax ও by উভয়েই d দিয়ে বিভাজ্য হবে। তার মানে তাদের যোগফলও d দিয়েই বিভাজ্য হবে। এখন c যদি d দিয়ে বিভাজ্য না হয় সেক্ষেত্রে এই সমীকরণের কোন সমাধান থাকবে না। বিপরীতভাবে এটাও বলা যায় যদি gcd(a,b) দ্বারা c নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তাহলে সমীকরণের সমাধান থাকবেই। কেন সবসময় থাকবেই এটা তোমরা ভেবে বের কর।

সিদ্ধান্ত ১. ax + by = c সমীকরণটির পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি gcd(a,b) দ্বারা c নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।

এখন আরেকটা জিনিস খেয়াল কর। ax+by এর মান যাই হোক না কেন তাকে gcd(a,b) = d দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। এখন যদি c | d হয় তাহলে d এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান হবে c. তাহলে ব্যাপারটা এভাবেও বলা যায় যে ax+by আকৃতির সকল ধনাত্মক সংখ্যার মধ্যে সর্বনিম্ন হবে d.

সিদ্ধান্ত ২. ax + by এই লিনিয়ার কম্বিনেশনে x, y এর বিভিন্ন মান বসিয়ে প্রাপ্ত সকল ধনাত্মক সংখ্যার মধ্যে ক্ষুদ্রতমটি হবে x ও y এর গসাগু।

এইভাবে অনেকসময় গসাগু বের করতে হতে পারে।

সমাধান নির্ণয়ঃ

এখন আমরা বের করতে পারি যে ডায়াফন্টাইন সমীকরণের সমাধান আছে কিনা। এখন সমাধান নির্ণয় করা যাক। প্রথম উদাহরণেই ফিরে যাই। 

4x+5y = 10; x = (10-5y)/4

এবং টেবিলটা আবার তৈরি করি আরও বেশি সংখ্যা নিয়ে।

x	5/2	5/4	0	-3/4	-5/2	-15/4	-5	-25/4	-15/2	-35/4	-10	-45/4
y	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

আরেকটু বাড়িয়ে আরও একটা সমাধান পেয়েছি আমরা।

(x,y) = (0,2), (-5,6), (-10,10).

এগুলোর মধ্যে কিছু খেয়াল করতে পারো? X এর মান কমছে 5 এর ব্যবধানে, বা বলা যায় বাড়ছে -5 করে। একইসাথে y এর মান বাড়ছে 4 করে। মানে x এর মানে -5 করে বাড়ার জন্য y এর মান বাড়ছে 4 করে। তার মানে x, y এর প্রথম যে মানটা পেয়েছি আমরা সেখান থেকে আমরা সহজেই পরের সমাধানগুলো বের করতে পারব। x এর মান -5 করে বাড়াতে থাকব আর y এর মান 4 করে। সাধারণ একটা সমাধান লিখেই ফেলিঃ
x = 0 – 5t; y = 2 + 4t, t হবে যেকোন পূর্ণসংখ্যা। এটা যে কাজ করে সেটা তোমরা t এর বিভিন্ন মান বসিয়ে দেখা যায়। সমীকরণ থেকে বোঝানোর চেষ্টা করি।

x = (10-5y)/4

এখন y = 2 এর জন্য আমরা দেখছি x ও পূর্ণসংখ্যা হচ্ছে। তার কারণটা কি? x কে পূর্ণসঙ্খ্যা হতে হলে (10-5y) কে 4 দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। এবং 10-5x2 = 0, 4 দিয়ে বিভাজ্য। এখন ধরি y = 2+k. তাহলে

(10-5y)  = 10 - 5(2+k) = -5k.

বিভাজ্যতার জ্ঞান ঝালাই করে নাও। -5k, 4 দিয়ে বিভাজ্য হবে কখন? যখন k নিজেই 4 দিয়ে বিভাজ্য। তাহলে ধরে নিতেই পারি

k = 4t;  y = 2+4t;

এবার y এর মান সমীকরণে বসিয়ে x এর মান পাবঃ

x = (10- 5(2+4t))/4 = -5t

তার মানে, (x,y) = ( -5t, 2 + 4t ).

ঠিক আগে যা বলেছিলাম।এখন t এর মান কি হতে পারে? যেকোন পূর্ণসঙ্খ্যা। তার মানে t এর, তথা (x,y) এর কয়টি সমাধান থাকতে পারে? অসীম সংখ্যক। তার মানে কি? সমীকরণের একটা সমাধান কোন মতে বের করতে পারলেই সেখান থেকে আরও অসীমসংখ্যক সমাধান পাওয়া যাবে।

সিদ্ধান্ত ৩. ax + by = c সমীকরণটির একটি মাত্র পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান থাকলেই অসীমসংখ্যক পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান থাকবে।

আচ্ছা আরেকটা সমীকরণ দেখা যাক,

14x + 21y = 28.

সবকয়টি পদ gcd(7,14)=7  দিয়ে বিভাজ্য। তাহলে 7 দিয়ে সবাইকে ভাগ করে দিয়ে পাই

2x + y = 4;

আগের সমীকরণ আর এই সমীকরণের সমাধান সবসময় একই হবে, কারণ তারা মূলত একই সমীকরণ। এখন এর কয়েকটা সমাধান মোটামোটি দেখেই বুঝা যায় x = 1, y =2. বা x = 2, y = 0. প্রথম সমাধানটার সাপেক্ষে এটারও সাধারণ সমাধান বের করার চেষ্টা করিঃ

y = 4 – 2x;

If, x = 1+t, y = 2-2t, যারা উভয়েই পূর্ণসঙ্খ্যা।

তাহলে, (x,y) = (1+t, 2-2t);

এখন (-5t, 2+4t) তে t এর সহগ -5,4, (1+t, 2-2t) তে t এর সহগ 1,-2; এদের কোন তাতপর্য আছে? হ্যাঁ, 5 আর 4 হচ্ছে গিয়ে মূল সমীকরণে x, y এর সহগ। আমরা 4x+5y = 10 এর একটা সমাধান পেয়েছিলাম (0,2), সেখান থেকে সাধারণ সমাধান (0-5t, 2+4t)। 2, 1 ও গসাগু দিয়ে ভাগ করার পর সমীকরণে x,y এর সহগ।  

তাহলে এটাকে জেনারালাইজ করে ফেলি। অবশ্যই আমরা ধরে নিব আমরা সহগের গসাগু দিয়ে সমীকরনকে ভাগ করে নিয়েছি, এবং তার ফলে এখন সহগরা সহমৌলিক।

সিদ্ধান্ত ৪. ax + by = c, [gcd(a,b)=1]; সমীকরণটির একটি পূর্ণ সাংখ্যিক সমাধান যদি হয় (x0,y0) তাহলে এর সাধারণ সমাধান হবে (x,y) = (x0-bt,y0+at) যেখানে t যেকোন পূর্ণসঙ্খ্যা।

এই সিদ্ধান্তটা প্রমাণ করার চেষ্টা কর, খুব সহজেই হয়ে যাবে। আর যদি আমরা গসাগু দিয়ে ভাগ না করতাম, তাহলে সাধারণ সমীকরণকে কিভাবে প্রকাশ করতে তাও বের করে ফেল।

এখন, আমরা একটা সমাধান পেলে সেখান থেকে সাধারণ সমাধান করা শিখলাম। এখন একটা সমাধান তো অন্তত বের করতে হবে। এতক্ষন পর্যন্ত আমরা পর্যবেক্ষণ থেকে অথবা ট্রায়াল অ্যান্ড এরর করে একটা সমাধান করেছি। এখন একটা সাধারণ পদ্ধতি শেখা যাক যেটা সবসময় কাজ করবে।

খেয়াল কর, 2x+y = 4 এর একটা সমাধান খুব সহজেই করা যায়। এখানে x = 0 বসালেই y = 4 পাওয়া যায়। অথবা y = 0 বসালে সহজেই x = 2 পাওয়া যায়। এত সহযে হয়েছে তার মূল কারন এখানে x, y এর সহগেরা প্রত্যেকে 4 কে নিঃশেষে ভাগ করে। তাই যেকোন একটাকে 0 করে দিলে একটা পূর্ণসাংখ্যিক সমাধান পাওয়া যায়। তার মানে কোন সমীকরণ ax+by = c

এটায় a|c হলে বা b|c হলে একটা সমাধান সহজেই হয়। নিচের সমীকরণগুলোর ক্ষেত্রে একটা সমাধান খাতা-কলম ছাড়াই বের করে ফেল।

         I.            2x + 3y = 9

        II.            x + y = 7

      III.            3x + y = 8

      IV.            5x + 7y = 49

       V.            2x + 17y = 51

এখন এরকম অবস্থায় পেলে কি করব সেটা তো বোঝা গেল। তাহলে এরকম অবস্থায় না পেলে কি করব? জোর করে এরকম অবস্থায় আনব।

সেটাই দেখা যাক কিভাবে একটা উদাহরণ দিয়ে।

13x  + 17y = 109

gcd(13,17)  = 1, যা দিয়ে 109 বিভাজ্য। মানে সমীকরণটির সমাধান আছে। এখন 13 বা 17 দিয়ে 109 বিভাজ্য না। তাই অত সহজে আমরা কিছু পেয়ে যাচ্ছি না। তাহলে এক কাজ করে পুরো সমীকরণ থেকে 13 আর 17 এর মধ্যে ছোট 13 কে কমন নেই।

13(x+y-8) + 4y = 109-104 = 5;

So, 13(x+y-8) + 4y = 5;

এখন x+y-8 আরেকটা অজানা রাশি হয়ে যাচ্ছে। ধরি x+y-8 = u. তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়ঃ

13u + 4y = 5;

আগের সমীকরণ থেকে আরেকটু সহজ একটা সমীকরণ পেলাম। তো আগেরবার যা করেছি একই কাজ আবার করি।

4(3u+y-1) + u = 1;

আবার আরেকটা অজানা রাশি আমদানি করি v = 3u+y-1, তাহলে

4v + u = 1;

আচ্ছা এবার এর একটা সমাধান আমরা করতে পারব।

v = 0, u = 1.

So, v = 3u+y-1 = 1; so 0 = 3x1+y-1, [u আর v এর মান বসিয়ে], so y = -2.

y এর এই মান বসিয়ে পাই, x = 11

তার মানে একটা সমাধানঃ (x,y) = (11,-2);

সাধারণ সমাধানঃ (x,y) = (11-17t,-2+13t), t যেকোন পূর্ণসঙ্খ্যা। এখানে বিভিন্ন মান বসিয়ে দেখে নাও যে এটা আসলেই সাধারণ সমাধান হয়েছে। এখন পদ্ধতিটা অনেক বড় মনে হতে পারে, আসলেই একটু বড় তবে এটা মোটামোটিভাবে সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি একঘাত ডায়াফন্টাইন সমীকরণ সমাধানের জন্য।

তবে কেউ নিজে সমাধান করার সময় অবশ্যই এতকিছু লিখার তো দরকার নাই যা আমি বুঝানোর জন্য লিখছিলাম। তাহলে আরেকটা সমীকরণে শুধু কাজগুলো করে দেখাই।

সমীকরণ: 24x + 13y = 81

o    13(x+y-6) + 11x = 3 o    13u + 11x = 3 o    11(u+x) + 2u = 3 o    11v + 2u = 3 o    2(5v + u - 1) + v = 1 o    2w  + v = 1 o    So v = 1, w = 0

o    Now working backwards o    w = 5v +u -1, so u = -4 o    u + x =  v, so x = 5 o    And so y = -3

                একক সমাধান: (x,y) = (5,-3);

                সাধারণ সমাধান: (x,y) = (5+13k, -3-24k)

সহজ সমস্যাঃ

I –III এর জন্য পূর্ণসাঙ্খ্যিক সমাধান বের করঃ

         I.            3x + 18y = 29

        II.            7x + 5y = 13

      III.            3x – 18y = -7

      IV.            x,y উভয়েই ধনাত্মক এমন সকল সমাধান নির্ণয় করঃ 3x + 4y = 48 [Hint: সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর, তারপর x>0, y>0 লিখে দুইটা অসমতাকে সমাধান করে সম্ভাব্য সকল t এর মান বের কর]

       V.            3x - 6y = 69 এর জন্য x ঋনাত্মক ও y ধনাত্মক এমন পূর্ণসাঙ্খ্যিক সমাধান কয়টি?

To be continued...

Tour de কাঁটাতার – বান্দরবান পর্ব – ১

Tour de কাঁটাতার – বান্দরবান পর্ব – ১

আমি ট্রেনযাত্রা জিনিসটাকে বরাবরই “ভালু পাই”। রাতের ট্রেনে ভাল ঘুমও হয়। এযাত্রায় ব্যতিক্রম হয় নাই। রাতে কি কি নিয়ে যেন কথা হচ্ছিল। তানভীরের ওসি নামকরণের তাৎপর্য যেটা আবার তাজিন-এমডি ছাড়া বাকিরা কেউ পুরোপুরি জানি না(তার মানে এই না যে আমরা ওকে ওসি ডাকি না:D); শিফুর ইতিহাসজ্ঞানের পরিধি; এমডির ক্যাপের অংশবিশেষের গোলাপী বর্ণ। যাই হোক এর মধ্যে আমি ঘুমিয়ে গেছি আর ঘুম থেকে উঠেছি চট্টগ্রাম স্টেশনে পৌঁছে। এই স্টেশনে শেষ এসেছি যখন তখনও ঘুরতে। আব্বু-আম্মু-ভাইয়ার’র সাথে সেবার কক্স’সবাজার, রাঙ্গামাটি এক দফা ঘুরে গেছি। মাথার মধ্যে সিমিলারিটি খোঁজার অ্যাপ চালু হয়ে গেল, আমিও নোটিস করা শুরু করলাম, আরে এইরকম হ্যান দেখসি; ঐরকম ত্যান দেখসি; ঐদিক দিয়ে মনে হয় বের হইতে হয়। সাথে দেড় লোকাল পোলা থাকায়(হামু লোকাল আর কক্স’সবাজারের কাছাকাছি আমাদের অবস্থানের সুবাদে শিফু আধা-লোকাল) ভুলভাল কথাবার্তা বেরিয়ে যাওয়ার ভয়ে নিজের পর্যবেক্ষণ নিজের কাছেই রাখলাম আর কি।

তো বান্দরবান পৌঁছতে হবে যত দ্রুত সম্ভব, তাই সাথে সাথে রাচি-শিফু দৌঁড় দিল টিকেট কাটতে। পেয়েও গেল ৯টার টিকেট, বিআরটিসির বাস, কাউন্টার স্টেশন থেকে অল্পই দূরে। আমরাও ট্যুরের “প্রথম যাত্রাপথে খাওয়া” স্টেশনের বাইরেই একটা রেস্টুরেন্টে সেরে দিলাম হাঁটা। বাসটাকে দেখেই কেন জানি ভাল্লেগে গেছিল, মাথায় যে শব্দটা প্রথম আসল, তা হল “cool”। বাস ছাড়ল সময়মতই। এই বাস জার্নিটা পার্সোনালি আমার জন্য ঝামেলার ছিল আমার পুরানো শত্রু “motion sickness” এর আবির্ভাবের কারণে। তার জন্য এমনিতে উল্লেখযোগ্য কিছু ঘটে নাই ঐদিন বিকালের আগ পর্যন্ত, যাই হোক। আরেকটা যে কারণে এই জার্নিটা উল্লেখযোগ্য এই জার্নিটার সময়েই মনে হয় প্রথম আমাদের কথাবার্তায় প্রমিনেন্ট হয়ে উঠে “কাঁটাতার”। এটার ব্যাকগ্রাউন্ড আসলে খুবই সিম্পল। কারা কারা “বাইশে শ্রাবণ” সিনেমাটা দেখেছে জানি না, অন্তত গান শুনে থাকার কথা। “গভীরে যাও”, “একবার বল”, “এই শ্রাবণ” ইত্যাদি। না শুনে থাকলে কেউ শুনে দেখার পরামর্শ দেওয়া হল। তো “এই শ্রাবণ” গানটার প্রথম লাইন হচ্ছে “আমি কাঁটাতারেই সুখী…”। আমাদের মধ্যে সবচেয়ে ভালো গানের গলা  নিরুর(সবচেয়ে ভালো আর কি, গানের গলা আছেই এক নিরুর) আর সে কিছুক্ষন পর পরই এই গানটা গেয়ে উঠছিল। পুরো গান জানে না বিধায় কিছুক্ষন পর পর ফিরে আসছিল কাঁটাতরের গল্পে। কাহাঁতক আর এক গান এমনি এমনি শুনে যাওয়া যায়। কিছুক্ষন পর একে একে অনেকের মাথাতেই হয়ত এই চিন্তাটাই এসেছিল যে কি এমন করে নির্ঝর কাঁটাতার দিয়ে যে সুখী হয়ে উঠে এক কাঁটাতারেই। শিবলু তো গানও ধরে, “নিরু কাঁটাতারে সুখী…”(গানের বাকি অংশ সর্বসাধারণের শোনার মত না)। সেই শুরু, তারপর থেকে কতবার যে কাঁটাতারের অবতারণা হয় কথোপকথনে কেউই আর হিসেব করে উঠতে পারি নাই।

বান্দরবান পৌঁছলাম সাড়ে এগারোটার দিকে। বান্দরবানে আমাদের থাকার ব্যবস্থা করেছিল নির্ঝর। ওর বাবার এক কলিগের থ্রুতে লোকাল হর্টিকালচার সেন্টারের কিছু একটায়। তো আমরা ডিসিশন নিলাম যে সেখানে না, দেরি না করে ইমিডিয়েটলি নীলগিরি ঘুরে আসা হবে। চাঁদের গাড়িতে করে যাওয়া যায়(এই বস্তুর কথা একটু পরে এলাবোরেট করি), যেতে সময় লাগে ভালোই, গিয়ে আবার ফিরেও তো আসতে হবে। পথে একটা শৈলপ্রপাত আর চিম্বুক পাহাড় পড়ে, যাওয়া আসা মিলে খরচ পড়বে ৪০০০ টাকা। উঠে গেলাম ১২ জন। এবার চাঁদের গাড়ির গঠন সম্বন্ধে একটু বলা যায়। জিনিসটা আমার মূলত একটা পিক-আপের মতই লাগল, পিছের স্পেস বেশি সামনে শুধু ড্রাইভার আর একটা প্যাসেঞ্জার সিট রেখে। আমার কেন জানি ঢাকার লেগুনা বা রাজশাহীতে আমরা যেগুলোকে ইমা বলতাম তার কথা মনে পড়ল। বসা যায় ১০ জন, আমরা কেউ সামনে প্যাসেঞ্জার সিটে যেতে না চাওয়ায় ১২ জন চাপাচাপি করে থেকে গেলাম, বেশিরভাগ সময়েই কেউ না কেউ দাঁড়িয়ে থাকল আর কি। তো নীলগিরি কেউ যেতে চাইলে আর তাদের টাইমলাইন যদি আমাদের মত হয় তবে বলে রাখ দুপুর বেলার খিদা মিটানোর মত খাবার কিনে নিয়ে যাবেন। এইখানেই ভুলটা আমরা করেছিলাম, অল্পস্বল্প একচুয়ালি খিদা মিটানোর খাবার নিয়েছিলাম, আর সাথে নিয়েছিলাম ডালমুট মার্কা হুদা স্ন্যাক্স(যা শেষমেশ কাজে এসেছে কিনা আমরা নীলগিরি করে ফিরে আসার পর)। আরেকটা জিনিস নিবেন অবশ্যই, পানি, অনেক।  অবশেষে যাত্রা হল শুরু, কড়া রোদ, টুপি পড়ে আছি সবাই, কারও তাতেও কুলোচ্ছে না গামছা জড়াচ্ছে। এর মধ্যে দুজনের ক্যাপ গেল উড়ে, সাফাত তারটা ফেরৎ পেলেও এইচের টুপি হারিয়েই ট্যুরে আমাদের “হারানো”র খাতা খুলল। শৈলপ্রপাত যে জায়গায় সে জায়গাটা পার করে গেলাম সবার প্রথমে, ফেরার সময় দেখব এই নিয়্যতে। যাই হোক, আঁকাবাঁকা পথ, ধীরে ধীরে উঠছি আর ড্রাইভারের স্কিলের প্রশংসা করছি(এই কাজটা করেছিলাম বান্দরবান আসার বাস ট্যুরেও, আসলেই কতটা স্কিল লাগে এইরকম রাস্তাগুলোতে গাড়ি চালানোও মোটামোটি বিনাক্লেশের কাজ বানিয়ে দিতে আমার চিন্তার বাইরে) আমি আর শিফু তো প্ল্যানও করে ফেললাম এই রাস্তাতেই হবে আমাদের মুভি, “ফাস্ট এন্ড ফিউরিয়াস – বান্দরবান ড্রিফট”। রাস্তা এমনও ছিল যে একটু দূরের কোন রাস্তা, যেটা দেখে এই মনে হয় যে আরে ওটা কোন চিপা রাস্তা হবে, একটু পর সেই রাস্তাতেই চড়ে বসি। আর আসলেই মজা লাগছিল উপরে উঠতে উঠতে ফেলে আসা রাস্তাগুলোকে দেখতে। বিশ্বাসই যখন হতে চাচ্ছিল না যে ঐ রাস্তাগুলোই আমরা পার করে আসছি, তখনই ঐ রাস্তা দিয়ে আমাদেরই মত চাঁদের গাড়ি নিয়ে কাউকে উঠে আসতে দেখি। আর এরই মাঝে দু পাশের ভিউ চেঞ্জ হচ্ছে। আসলেই যে দুই পাশে তাকাতে কত সুন্দর লাগছিল বলে বুঝানো যাবে না। একটু পর পর খোলা আকাশ দেখি, নিচে তাকিয়ে বুঝি আমরা কত উপরে, আর একবার করে সবাই মিলে চিৎকার করে উঠি। যাই হোক, একটু পর হঠাৎ যখন নিচের দিকের ভিউ খেয়াল করলাম আর বহুদূরে দেখলাম একটা এক চিলতে নদী, গাড়ি থামিয়ে না নেমে পারলাম না। ওখানেই একটা চেকপোস্টে বসে ছিল এক পুলিশ, তাকেই জিজ্ঞেস করল কে যেন, কোন নদী। উত্তরে সে গান শুনিয়ে দিল একটা, জানাল নদীর নাম শঙ্খ, শঙ্খ আর সাঙ্গু যে একই জিনিস তা আমি পরে জানতে পারসি উইকি থেকে। নদীর নাম যাই হোক, দৃশ্যটা ছিল বেশিই অসাধারণ।

এর পরের স্টপ, চিম্বুক পাহাড়। পাহাড় বলতে অনেক অল্টিচিউডের বিশাল কিছু তা না। রাস্তার ডানে আরকি বেশ খানিকটা উঁচুতে চড়তে হয়। খাড়াই যথেষ্টই ভাল। পরে রাতে শিফু মনে হয় বলেছিল যে বান্দরবান ট্যুরে এর চেয়েও বেশি খাড়াইয়ে যদি অনেক উঁচুতে চড়তে হয় তো খবরই আছে আমাদের। তো আমরাও সবাই রাস্তার ধারেই একটা দোকানে চা খেয়ে উঠা ধরলাম। পাহাড়ের গায়ে ট্র্যাক তৈরি হয়েই ছিল অনেকজন উঠতে উঠতেই। তো তা অনুসরণে এক এক করে উঠে পড়লামও সবাই। বান্দরবানে গিয়ে আমাদের প্রথম পায়ে করে উচ্চতা অতিক্রম আর কি। চিম্বুক পাহাড়ের উপর থেকে ভিউটাও বেশ সুন্দর। তবে যেহেতু আমরা গাড়িতে করেই যথেষ্ট উঁচুতে পৌছেছিলাম আর কি পায়ে বেয়ে উঠা এইটুকুতে উচ্চতা আর ভিউ খুব পরিবর্তন হয়েছে দাবি করব না। তাই ওখানে ভিউয়ের দিকে মনোযোগ না দিয়ে ছবি তুলতে-তোলাতে দেখলাম আমাদের অনেকে ব্যস্ত হয়ে পড়ল। ওখানে থাকে একটা “চড়ার যোগ্য” গাছ ছবি তোলার ব্যাপারটাকে আরও উৎসাহব্যঞ্জক করে তুলেছিল আর কি। তো যাই হোক, চিম্বুক পাহাড় ঘোরা শেষ, নীলগিরি পৌঁছতে হবে এই চিন্তা নিয়ে নামা শুরু করলাম। উঠেছিলাম যে খাড়াই বেয়ে সেটা বেয়েই নামা যেত, কিন্তু আবিষ্কার করলাম যে পিছনের দিকে একটা হেলানো, ঘুরানো রাস্তা আছে নামার জন্য। তো খামোকাই পেইন না নিয়ে নামলাম সেদিক দিয়ে। আমি, তাজিন, শাকির সবার আগে। নেমে গাড়ির কাছে এগুতে এগুতে দেখলাম রাস্তা দিয়ে না নেমে অনেকে পাহাড় বেয়ে নামছে। সবার সামনে শিফু। দেখে কেন যেন মনে হল ওর স্পিড ঠিক স্বাভাবিক না। একটু বেশিই যেন। মনে হওয়াটাকেই ঠিক প্রমাণিত করে ওর গতি যেন বাড়তেই থাকল। যেন দৌঁড়ে দৌঁড়ে নামছে সে। পড়বে-পড়বে না-পড়বে-পড়বে না ভাবছি আমি, দৌড়ের উপরেই প্রায় নিচে এসেও গেল সে, এই সময় আমার পাশে শাকির বলল “পড়ল বলে” আর ঠিক সেই সময়েই দৌড়টা রূপ নিল ডিগবাজিতে। রাস্তায় পৌঁছনোর ঠিক দুই-তিন ধাপ আগে ডিগবাজি খেল শিফু আর উলটে গিয়ে পড়ল রাস্তার উপর।

সৌভাগ্যক্রমে উলটে গিয়ে হাতের কাছে ছড়ে যাওয়া ছাড়া কিছু হয় নাই। অন্তত কিছু ভাঙে নাই বা মাথার উপর গিয়ে সে পড়ে নাই আর কি(শুধু মনে হচ্ছিল যে, তাও তো ভাল শিফু অতক্ষন নিয়ন্ত্রণ রাখতে পেরেছে, ডিগবাজি যদি রাস্তা থেকে দুই ফুট উপর থেকে ডিগবাজি না খেয়ে বিশ ফুট উপর থেকে খেত তবে কি হত)। ঐ ছড়ে যাওয়া চামড়াটুকুর কল্যানেই অবশ্য বাকি ট্যুরে শিফুর উচ্চারিত সবচেয়ে কমন শব্দ হয়ে গেছিল “আঁউ”। আমাদের আনা ওষুধ-পত্রের কিছু কাজে লাগল শেষমেশ। আর আমাদের বারোজনের মধ্যে প্রথম উইকেট পতন দেখে আমরা আবারও এগিয়ে চললাম নীলগিরির দিকে।